Приготовить опару.
В небольшой миске тщательно смешайте теплое молоко, сахар и дрожжи. Оставить на 15-20 минут при комнатной температуре дать постоять.
Приготовить тесто.
В большой миске смешайте муку, соль и сделайте в центре углубление. Добавить опару, яйцо и 300 миллилитров воды. Перемешайте и замесите тесто. Выложите тесто на слегка посыпанный мукой стол. Вымешивайте тесто 15-20 минут, постепенно добавляя муку и подсолнечное масло, пока оно не станет гладким, упругим и мягким. Сформируйте из теста шар, смажьте его подсолнечным маслом. Большую миску посыпьте мукой и выложите туда наше тесто. Накройте миску полотенцем или пленкой и оставьте в теплом месте на 2 часа. Тесто отдохнуло и увеличилось вдвое. Через два часа аккуратно выложите тесто на посыпанный мукой стол и слегка обомните. Разделить тесто на пять частей. Кусочки теста сформируйте в шарики, выложите на слегка посыпанный мукой стол, накройте чистым кухонным полотенцем и оставьте на 15-20 минут.
Приготовить начинку.
Сырная начинка. В большой миске смешайте тертую моцареллу и сыр фета. Постепенно добавляйте воду до тех пор, пока начинка не приобретет консистенцию густой сметаны или каши.
Разогрейте духовку до 250 градусов. Каждый шарик теста раскатать в тонкий плоский круг. С двух сторон круга плотно раскатайте тесто по направлению к центру. Сожмите открытые концы булочек вместе, скрутите, чтобы запечатать, и поместите на противень. Слегка приоткройте завернутые края и выложите сырную начинку в лодочку. Повторите то же самое с оставшимся тестом и сыром. Выпекайте хачапури 15-20 минут до золотистого цвета и хрустящей корочки. Достаньте противень с хачапури из духовки и разбейте в центр каждой лодочки по 1 желтку. Верните в духовку на 2–3 минуты - желток должен оставаться жидким. Положите по вкусу масло на каждый хачапури, дайте постоять несколько минут и подавайте.